怎样求二次函数解析式?

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

一、利用图象平移的特征

例1、（2007辽宁）．将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为 ．

分析：函数图象在平移时，有一个重要的特征：平移过程中，图象的上所有点皆作相应的同步变化，而图象的形状和大小不变，选取几个有代表性的点作为关键点，“察点而窥全貌”，而顶点就是其中的一个很重要的关键点，抓住顶点坐标的变化来求平移后的解析式，是求二次函数图象平移后的解析式的简便方法。

简解： 的顶点坐标为（—1，—3），将抛物线再向上平移3个单位后的顶点坐标变为（—1，0），因此抛物线的表达式为

二、利用待定系数法

确定二次函数解析式的主要方法是待定系数法，一般地，解析式有几个待定系数就需要几个独立的已知条件，根据已知条件的不同，二次函数的解析式的设法也千差万别，一般来说有三种形式：

1、设一般式，y=ax2+bx+c，条件：已知图象上的三个点的坐标。

2、设顶点式：y=a（x—h）2+k，条件：已知二次函数顶点坐标与另一点坐标

例3、（2007上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 ．求该二次函数的解析式

分析：由于已知抛物线的顶点坐标，可以设二次函数的解析式为y=a（x—1）2—4，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线经过 求出a的值即得解析式

简解：设二次函数的解析式为y=a（x—1）2—4， 二次函数图象过点 ， ，得 ． 二次函数解析式为 ，即 ．

点评：当已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值，利用顶点式求解析式也比较方便。

3、设交点式y=a（x—x1）（x—x2），条件：已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0）、（x2，0）与另一点的坐标。

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.