Simone
如果函数 f(x) 及 g(x) 满足
在闭区间 [a,b] 上连续；
在开区间 (a,b) 内可导，
对任意
，
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式
成立。
其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。
柯西中值定理的证明
首先，如果 g(a) = g(b)，由罗尔定理，存在一点 
使得 g'(x0) = 0，与条件3矛盾。所以 
。
令
。那么
h 在 [a,b] 上连续，
h 在 (a,b) 上可导，
。
由罗尔定理，存在一点
 使得 h'(ξ) = 0。即
。命题得证。
