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淮北市政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一段曲线段．（1）若QP=x，阴影部分的面积为S，用x表示S的解析式；（2）试求该高科技工业园区的最大面积．

Simone 发布于 2024-10-09 18:44:55 547 阅读

淮北市政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一段曲线段．（1）若QP=x，阴影部分的面积为S，用x表示S的解析式；（2）试求该高科技工业园区的最大面积．

【解答】解：（1）如图所示建立平面直角坐标系，如右图，

A（0，0），B（2，0），C（2，6），

D（0，6），E（0，4），F（2，4），

易知抛物线的方程为y=x2，

由QP=x，（0＜x＜2），点P（x，x2）；

直线CE的方程为y=x+4，

故点R（x，x+4）；

故|EQ|=4-x2，|RP|=x+4-x2，|QP|=x，

故S=12（4-x2+x+4-x2）•x=-x3+x22+4x；

（2）∵S=-x3+x22+4x，

∴S′=-3x2+x+4=（-3x+4）（x+1），

∴S在（0，43）上是增函数，在（43，2）上是减函数，

故当x=43时，有最大面积S=-4333+42322+4×43=10427；

故该高科技工业园区的最大面积为10427km2．

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标签:工业园区,高科技,阴影

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