Simone
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1.集合，则（C）
（A）（B）（C）（D）
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（D）
（A）（B）（C）（D）
3.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（B）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
4.已知圆，过点的直线，则（A）
（A）与相交（B）与相切（C）与相离（D）以上三个选项均有可能
5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（A）
（A）（B）（C）（D）
6.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（B）
（A），
（B），
（C），
（D），
7.设函数，则（D）
（A）为的极大值点（B）为的极小值点
（C）为的极大值点（D）为的极小值点
8.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（C）
（A）10种（B）15种（C）20种（D）30种
9.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（C）
（A）（B）（C）（D）
10.右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.观察下列不等式
……
照此规律，第五个不等式为.
12.展开式中的系数为10，则实数的值为1。
13.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米。
14.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为2。
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是-2≤a≤4。
B.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，垂足为F，若，则5。
C.（坐标系与参数方程选做题）直线与圆相交的弦长为.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.
16.（本小题满分12分）
函数（）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，则，求的值。
17.（本小题满分12分）
设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）证明：对任意，成等差数列.
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；
（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）
19.（本小题满分12分）
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程.
20.（本小题满分13分）
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.
21.（本小题满分14分）
设函数.
（Ⅰ）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。
