Simone
由于无穷级数的每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)的绝对值都小于常数a^n，而正项级数 \sum_{n=0} ^\infty a^n 是[[收敛]]的。由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)都是{\mathbb R}上的连续函数，级数和f(x) 也是{\mathbb R}上的连续函数。
下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x \in {\mathbb R}，证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x'_n)，使得
:\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.
这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕
