如图，$\triangle ABC$是边长为$6$的等边三角形，$BD=CD$，$\angle BDC=120^{\circ}$，以点$D$为顶点作一个$60^{\circ}$角，使其两边分别交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$，连结$MN$，则$\triangle AMN$的周长是______.

$\because \triangle BDC$是等腰三角形，且$\angle BDC=120^{\circ}$，

$\therefore \angle BCD=\angle DBC=30^{\circ}$，

$\because \triangle ABC$是边长为$4$的等边三角形，

$\therefore \angle ABC=\angle BAC=\angle BCA=60^{\circ}$，

$\therefore \angle DBA=\angle DCA=90^{\circ}$，

延长$AB$至$F$，使$BF=CN$，连接$DF$，

在$\triangle BDF$和$\triangle CND$中，

$\left\{\begin{array}{l}{BF=CN}\\{∠FBD=∠DCN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle BDF$≌$\triangle CND\left(SAS\right)$，

$\therefore \angle BDF=\angle CDN$，$DF=DN$，

$\because \angle MDN=60^{\circ}$，

$\therefore \angle BDM+\angle CDN=60^{\circ}$，

$\therefore \angle BDM+\angle BDF=60^{\circ}$，

在$\triangle DMN$和$\triangle DMF$中，

$\left\{\begin{array}{l}{MD=MD}\\{∠FDM=∠MDN}\\{DF=DN}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DMN$≌$\triangle DMF\left(SAS\right)$，

$\therefore MN=MF$，

$\therefore \triangle AMN$的周长是：$AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6+6=12$.

故答案为：$12$.