Simone
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（理工农医类）
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则等于（）
A．B．C．D．
2.等差数列中，则数列的公差为（）
A．1B．2C．3D．4
3.下列命题中，真命题是（）
A．B．
C．的充要条件是D．是的充分条件
4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
5.下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
6.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（）
A．B．
C．D．
7.设函数，则下列结论错误的是（）
A．的值域为B．是偶函数
C．不是周期函数D．不是单调函数
8.双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A．B．
C．3D．5
9.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（）
A．B．1
C．D．2
10.函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在[1,3]上具有性质，现给出如下命题：
①在上的图像时连续不断的；
②在上具有性质；
③若在处取得最大值1，则，；
④对任意，有。
其中真命题的序号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
11.的展开式中的系数等于8，则实数_________。
12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的值等于_____________________。
13.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。
14.数列的通项公式，前项和为，则___________。
15.对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分13分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
17.（本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
18.（本小题满分13分）
如图，在长方体中，为中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长。
19.（本小题满分13分）
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆的方程。
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相较于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
20.（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为。
（Ⅰ）求实数的值。
（Ⅱ）求的逆矩阵。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。
（Ⅰ）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求证：
