Simone
2010年高考数学(理)试题及答案(全国卷I)
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3
至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径
一、选择题
(1)复数
(A)(B)(C)12-13(D)12+13
(2)记,那么
A.B.-C.D.-
(3)若变量满足约束条件则的最大值为
(A)4(B)3(C)2(D)1
（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A)(B)7(C)6(D)
(5)的展开式中x的系数是
(A)-4(B)-2(C)2(D)4
(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种
（7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
ABCD
（8）设a=2,b=In2,c=,则
AabcBbcaCcabDcba
(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，则P到x轴的距离为
(A)(B)(C)(D)
（10）已知函数,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为
(A)(B)(C)(D)
（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A)(B)(C)(D)
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，在试题卷上作答无效。
3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
(注意：在试题卷上作答无效)
(13)不等式的解集是.
(14)已知为第三象限的角，则.
(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是.
(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知的内角，及其对边，满足，求内角．
(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评
审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录
用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．
各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．
（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：.
（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.
（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列中，.[来源:学科网]
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
一、选择题
1.A2.B3.B4.A5.C6.A
7.D8.C9.B10.C11.D12.B
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解：
由及正弦定理得
从而
又
故
所以
18.解：
(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用.
则D=A+B·C,
=
=
=0.25+0.5×0.3
=0.40.
(Ⅱ)，其分布列为：
期望.
19.解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,
由此知即为直角三角形，故.
又,
所以，.
作，
故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直
DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB
所以，SE=2EB
(Ⅱ)由知
.
故为等腰三角形.
取中点F,连接,则.
连接，则.
所以，是二面角的平面角.
连接AG,AG=，
所以，二面角的大小为120°.
解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
由，得
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设，则
设平面CDE的法向量m=(x,y,z)
由,得
故.
令，则.
由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,
故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取DE的中点F，则，
故，由此得
又，故，由此得，
向量与的夹角等于二面角的平面角
于是
所以，二面角的大小为
20.解：
（Ⅰ），
题设等价于.
令，则
当，；当时，是的最大值点，
综上，的取值范围是.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.
当时，；
当时，
所以
21.解：
设，的方程为.
（Ⅰ）将代入并整理得
从而
直线BD的方程为
即
令，得
所以点F(1,0)在直线BD上
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，
故，
解得
所以的方程为
又由（Ⅰ）知
故直线BD的斜率，
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.
由得，或（舍去），
故圆M的半径.
所以圆M的方程为.
22.解：
（Ⅰ），
所以是首项为，公比为4的等比数列，
（Ⅱ）
用数学归纳法证明：当时.
（ⅰ）当时，命题成立；
（ⅱ）设当n=k时，则当n=k+1时，
故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c2时
当c2时，令，由得
当
当时，且
于是
当时，
因此不符合要求
所以c的取值范围是
