Simone
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）数学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件相互独立，那么其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径
第一部分（选择题共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、的展开式中的系数是（）
A、B、C、D、
2、复数（）
A、B、C、D、
3、函数在处的极限是（）
A、不存在B、等于C、等于D、等于
4、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）
A、B、C、D、
5、函数的图象可能是（）
6、下列命题正确的是（）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）
A、B、C、D、且
8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（）
A、B、C、D、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）
A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元
10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（）
A、B、C、D、
11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）
A、60条B、62条C、71条D、80条
12、设函数，是公差为的等差数列，则（）
A、B、C、D、
第二部分（非选择题共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集，集合，则___________。
14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。
15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。
16、记为不超过实数的最大整数，例如。设为正整数，数列满足，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。
18、(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，平面平面。
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。
20、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
22、(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。
