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2013高考数学全国卷一理科试题及答

2013高考数学全国卷一理科试题及答

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷一)数学(理工类)

参考公式:

如果事件互斥,那么球的表面积公式

如果事件相互独立,那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是,那么

在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

第一部分(选择题共60分)

注意事项:

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。

一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、的展开式中的系数是()

A、B、C、D、

2、复数()

A、B、C、D、

3、函数在处的极限是()

A、不存在B、等于C、等于D、等于

4、如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则()

A、B、C、D、

5、函数的图象可能是()

6、下列命题正确的是()

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

7、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()

A、B、C、D、且

8、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则()

A、B、C、D、

9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是()

A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元

10、如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为()

A、B、C、D、

11、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()

A、60条B、62条C、71条D、80条

12、设函数,是公差为的等差数列,则()

A、B、C、D、

第二部分(非选择题共90分)

注意事项:

(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

(2)本部分共10个小题,共90分。

二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)

13、设全集,集合,则___________。

14、如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________。

15、椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________。

16、记为不超过实数的最大整数,例如。设为正整数,数列满足,现有下列命题:

①当时,数列的前3项依次为5,3,2;

②对数列都存在正整数,当时总有;

③当时,;

④对某个正整数,若,则。

其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)

17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;

(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望。

18、(本小题满分12分)

函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形。

(Ⅰ)求的值及函数的值域;

(Ⅱ)若,且,求的值。

19、(本小题满分12分)

如图,在三棱锥中,平面平面。

(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;

(Ⅱ)求二面角的大小。

20、(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。

(Ⅰ)求,的值;

(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。

21、(本小题满分12分)

如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。

(Ⅰ)求轨迹的方程;

(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。

22、(本小题满分14分)

已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

(Ⅰ)用和表示;

(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;

(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。