Simone
分析: (1)设正四棱锥的侧棱长为3a,由勾股定理SD2﹣SP2=CP2=CD2﹣PD2可得a=,再求正四棱锥S﹣ABCD的体积;
(2)取SC中点为E,线段SD靠近S的三等分点Q,连接BQ,BD,证明平面BEQ∥平面PAC,可得BE∥平面PAC.
解答: 解:(1)设正四棱锥的侧棱长为3a,
∵CP⊥SD.∴三角形SPC与三角形CDP皆为RT△,
由勾股定理SD2﹣SP2=CP2=CD2﹣PD2可得a=,
∴侧棱长为…..(2分)
∵四棱锥的高SO=2,
∴Vs﹣ABCD=Sh=….(4分)
(2)取SC中点为E,E点为所求,∴SE:EC=1:1
取线段SD靠近S的三等分点Q,连接BQ,BD.
设AC,BD交于O点连接OP,
取SC中点为E,连接QE,…(6分)
在面SBD中,∵O是BD的中点,P是QD的中点,
∴PO是三角形DBQ在BQ边的中位线,∴OP∥BQ,
∵OP⊄平面BEQ,BQ⊂平面BEQ,
∴OP∥平面BEQ,
在面SCD中,∵E是SC的中点,Q是SP的中点,
∴EQ是三角形SCP在PC边的中位线,∴EQ∥PC,
∵CP⊄平面BEQ,EQ⊂平面BEQ,
∴CP∥平面BEQ,
∵OP∩CP=P,
∴面BEQ∥面APC,
∵BE⊂面BEQ,
∴BE∥面PAC…(12分)
点评: 本题主要考查立体几何中平面与平面平行的性质,正四棱锥S﹣ABCD的体积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
