Simone
函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}
常见函数值域:
y=kx+b (k≠0)的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为x≥0
y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ;
当a<0时，值域为(-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R
扩展资料
在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。
把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*求解，把的解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法;
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1). 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 注意:换元后勿忘还原。
利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域;
参考资料：
共有9种方法：
1、观察法
用于简单的解析式.
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2、不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.y=(e^x+1)/(e^x-1), (0
由01+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞)
3、配方法
多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）
3．换元法
多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域，注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].
5．最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的。
6．反函数法（有的又叫反解法）函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者。
7．单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].
y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].
8．斜率法
数形结合.求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域.把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),解得k=(-12±√6)/15.y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域.对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域。
9．导数法
导数为零的点称为驻点,设f'(x0)=0,若当x0,则f(x0)为极小值；若当x0,当x>x0时f'(x)<0,则f(x0)为极大值；再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域。
值域的概念：
函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关。
值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围。
一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性。
