2012年广东高考数学试题及答案理科

2012年广东高考数学试题及答案(理科)

2012年广东高考数学试题及答案（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i为虚数单位，则复数

A．B．C．D．

2．设集合，则

A．B．C．D．

3．若向量，则

A．B．C．D．

4．下列函数中，在区间上为增函数的是

A．BC．D．

5．已知变量满足约束条件，则的最大值为

A．12B．11C．3D．-1

6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A．B．C．D．

7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是

A．B．C．D．

8．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集为___________．

10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）

11．已知递增的等差数列满足，则________．

12．曲线在点处的切线方程为__________．

13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的

参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足，过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P，则PA=．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数（其中）的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）设，求的值．

17．（本小题满分13分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

(1)求图中x的值;

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．

18．（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正切值．

19．（本小题满分14分）

设数列的前项和为，满足，且成等差数列．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有．

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3．

（1）求椭圆C的方程

（2）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．

）

21．（本小题满分14分）

设，集合，．

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数在D内的极值点．

参考答案

选择题答案：1-8：DCAABCDC

填空题答案：

9.

10.20

11.

12.

13.8

14.

15.

解答题答案

16.

（1）

（2）代入得

∵

∴

∴

17.

（1）由得

（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人

随机变量的可能取值有0,1,2

∴

18.

（1）∵

∴

∵

∴

∴

（2）设AC与BD交点为O，连

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴为二面角的平面角

∵

∴

∴

∴

在，

∴

∴二面角的平面角的正切值为3

19.

（1）在中

令得：

令得：

解得：，

又

解得

（2）由

得

又也满足

所以成立

∴

∴

∴

（3）

（法一）∵

∴

∴

（法二）∵

∴

当时，

………

累乘得：

∴

20.

（1）由得，椭圆方程为

椭圆上的点到点Q的距离

当①即,得

当②即,得（舍）

∴

∴椭圆方程为

（2）

当，取最大值，

点O到直线距离

∴

又∵

解得：

所以点M的坐标为

的面积为

21.

（1）记

①当，即，

②当，

③当，

（2）由得

①当，

②当，∵

∴

∴

③当，则

又∵

∴