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2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)
数学(供理科考生使用)
第卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)复数的模为
(A)(B)(C)(D)
(2)已知集合
A.B.C.D.
(3)已知点
(A)(B)
(C)(D)
(4)下面是关于公差的等差数列的四个命题:
其中的真命题为
(A)(B)(C)(D)
(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,
数据的分组一次为
若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是
(A)(B)
(C)(D)
(6)在,内角所对的边长分别为
A.B.C.D.
(7)使得
A.B.C.D.
(8)执行如图所示的程序框图,若输入
A.B.C.D.
(9)已知点
A.B.
C.D.
(10)已知三棱柱
A.B.C.D.
(11)已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则
(A)(B)
(C)(D)
(11)设函数
(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值
(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值
第卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.
(14)已知等比数列
.
(15)已知椭圆的左焦点为
.
(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
设向量
()若
()设函数
18.(本小题满分12分)
如图,
()求证:
()
19.(本小题满分12分)
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
()求张同学至少取到1道乙类题的概率;
()已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.
20.(本小题满分12分)
如图,抛物线
();
()
21.(本小题满分12分)
已知函数
()求证:
()若取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,
()
()
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.
()
()
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
()
()
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(供理科考生使用)解析
一选择题:
1.【答案】B
【解析】由已知所以
2.【答案】D
【解析】由集合A,;所以
3.【答案】A
【解析】,所以,这样同方向的单位向量是
4.【答案】D
【解析】设,所以正确;如果则满足已知,但并非递增所以错;如果若,则满足已知,但,是递减数列,所以错;,所以是递增数列,正确
5.【答案】B
【解析】第一、第二小组的频率分别是、,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为,则。
6.【答案】A
【解析】边换角后约去,得,所以,但B非最大角,所以。
7.【答案】B
【解析】通项,常数项满足条件,所以时最小
8.【答案】A
【解析】的意义在于是对求和。因为,同时注意,所以所求和为=
9.【答案】C
【解析】显然角O不能为直角(否则得不能组成三角形)若A为直角,则根据A、B纵坐标相等,所以;若B为直角,则利用得,所以选C
10.【答案】C
【解析】由球心作面ABC的垂线,则垂足为斜边BC中点M。计算AM=,由垂径定理,OM=,所以半径R=
11.【答案】B
【解析】顶点坐标为,顶点坐标,并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上,图象如图,A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以A-B=
【点评】(1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。(2)并非A,B在同一个自变量取得。
12.【答案】D
【解析】由已知。在已知中令,并将代入,得;因为,两边乘以后令。求导并将(1)式代入,显然时,减;时,增;并且由(2)式知,所以为的最小值,即,所以,在时得,所以为增函数,故没有极大值也没有极小值。
13.【答案】
【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱。
14.【答案】63
【解析】由递增,所以,代入等比求和公式得
15.【答案】
【解析】由余弦定理,解得,所以A到右焦点的距离也是8,由椭圆定义:,又,所以
16.【答案】10
【解析】设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得,显然各个括号为整数。设分别为,则。设=
=,因为数据互不相同,分析的构成,得恒成立,因此判别式,得,所以,即。
作者:大连红旗高级中学王金泽由于赶稿件可能有疏漏请提宝贵意见QQ:1273177566